A fines del 2009, en la sección de comentarios del blog del distinguido Tim Gowers, el matemático Barry Cunningham trajo a colación un supuesto error matemático de Borges, error que él detectara en alguna traducción al inglés de El Aleph en que aparece la siguiente acotación acerca del símbolo que da nombre al cuento: “… it is the symbol of transfinite numbers, of which any part is as great as the whole”. (En español: “… es el símbolo de los números transfinitos, de los cuales cualquier parte es tan grande como el todo”). Al leer esto, inmediatamente supuse que había un error de traducción. No me parecía posible que Borges hubiera escrito semejante cosa. Y, en efecto, he aquí el original: “… es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes”. Traduttore, traditore. En efecto, cualquier número transfinito tiene el mismo tamaño que algunas de sus partes, y no, no es verdad que todas las partes tengan el mismo tamaño que el todo.
Según la perspectiva tradicional de las matemáticas contemporáneas, dos conjuntos tienen el mismo tamaño si existe una correspondencia biyectiva entre ellos, es decir, si existe una forma de hacer que los elementos del primer conjunto correspondan, uno a uno, exactamente con los elementos del segundo conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números pares tienen el mismo tamaño, pues la función descrita por la regla f(n) = 2n es una correspondencia biyectiva entre los dos conjuntos. Si retomamos la metáfora del traductor, dicha correspondencia hace las de un diccionario perfecto entre los dos conjuntos: no hay rastro de ambigüedad.
Esta forma de concebir el tamaño de los conjuntos se cimentó con el trabajo del matemático alemán Georg Cantor, quien demostró que no existe ninguna correspondencia biyectiva entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los números naturales. Cantor también demostró, mediante una generalización de su propio argumento, que hay una infinidad de tamaños para los conjuntos infinitos. El ingenioso método que Cantor empleó se convirtió en modelo de muchos otros argumentos, incluido el que llevó a Kurt Gödel a demostrar su célebre e incomprendido Teorema de Incompletitud.
Gracias al trabajo de Cantor, hoy en día sabemos que un conjunto es infinito si tiene el mismo tamaño que alguna de sus partes, justamente como lo formuló Borges. Lejos de ser una coincidencia, ello es el resultado de una lectura minuciosa que Borges hiciera del tratado seminal de Cantor. De ahí su finísimo tratamiento de las paradojas del infinito. Lo verdaderamente asombroso es que, sin el beneficio de una educación formal en las matemáticas, Borges adquirió un entendimiento tan acertado del infinito que, tras el escrutinio crítico de un matemático profesional interesado en su literatura, fue el matemático quien, como se verá a continuación, se confundió.
En el buen libro The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel, escrito por el matemático William Goldbloom Bloch, se endilga a Borges un error un tanto más sutil. En El libro de arena, Borges describe las páginas del libro central del cuento como infinitamente delgadas. Goldbloom Bloch argumenta que si las páginas son infinitamente delgadas, aún y cuando haya infinitas páginas, el libro mismo tendría que ser infinitamente delgado:
“En el análisis no estándar, hay una infinidad de números infinitesimales agrupados cerca del 0, todos ellos menores que cualquier número real positivo. Cada uno de ellos significa una distancia minúscula. Le podemos simplemente asignar un infinitesimal arbitrario a cada página del libro. Las reglas del análisis no estándar nos permiten calcular el grosor del libro al sumar todos estos infinitesimales. Pero en una suma como esta, al sumar un número infinito de infinitesimales produce como resultado un número infinitesimal, así que el libro es infinitamente delgado: imposible de ver, imposible de abrir”.
Sí, es cierto que el análisis no estándar nos permite calcular el grosor del libro de arena, que para ello basta con sumar la totalidad de los grosores de las páginas del libro, y que ello corresponde, en la mejor interpretación posible, a realizar una suma de un número infinito de infinitesimales (números mayores que 0 pero menores que cualquier número real positivo). Sin embargo, una suma infinita de números infinitesimales no es necesariamente un número infinitesimal. Imaginemos que N es un número infinitamente grande. Entonces, naturalmente, 1/N es un número infinitesimal, pues, siendo mayor que 0, es, sin embargo, más chico que cualquier número real positivo. Ahora, imaginemos que cada página en el libro de arena tiene grosor 1/N, y que el número de páginas en el libro es N. Si se suma 1/N un total de N veces, el resultado es lo que nuestro lector espera: 1.
Razonar sobre infinitesimales es complicado, y es posible que Goldbloch Bloom se haya convencido de que, como los infinitesimales están todos aglutinados en una región de longitud infinitesimal (todos ellos muy cerca de 0), al identificarlos con los grosores de las páginas del libro de arena uno podía ver claramente que el libro tenía que ser infinitamente delgado. Dicha intuición es errónea. Es preciso sumar esos grosores, y cuando uno suma un número infinito de cantidades infinitesimales puede ocurrir cualquier cosa. En particular, puede muy bien ser el caso que el libro tenga un grosor estándar, tal y como Borges intuyó.
Quiero dejar constancia de que el libro de Goldbloom Bloch me parece muy recomendable, pese al error en que aquí reparo.
Nota: He aquí un enlace a una traducción al inglés de El Aleph que comete el error que Barry Cunningham identificó.
©All rights reserved Pedro Poitevin
Pedro Poitevin es lógico matemático y profesor universitario en Salem State University, Massachusetts. Sus poemas en español han aparecido en Letras Libres y Revista Picnic y sus poemas en inglés han aparecido en Everyday Genius y Boston Literary Magazine, entre otras publicaciones. Su cuenta de Twitter es @poitevin.
